દર્શાવો કે વિકલ સમીકરણ $y^{\prime} = \frac{x+y}{x}$ એ સમપરિમાણીય (homogeneous) સમીકરણ છે અને તેનો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

(N/A) આપેલ વિકલ સમીકરણ:
$y^{\prime} = \frac{x+y}{x}$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x} \quad \dots (1)$
ધારો કે $F(x, y) = \frac{x+y}{x}$.
હવે,$F(\lambda x, \lambda y) = \frac{\lambda x + \lambda y}{\lambda x} = \frac{\lambda(x+y)}{\lambda x} = \frac{x+y}{x} = \lambda^0 F(x, y)$.
અહીં $F(\lambda x, \lambda y) = \lambda^0 F(x, y)$ હોવાથી,આપેલ સમીકરણ એ સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે.
તેને ઉકેલવા માટે,$y = vx$ આદેશ લો.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ મળે.
આ કિંમતો સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x + vx}{x} = \frac{x(1+v)}{x} = 1+v$.
$x \frac{dv}{dx} = 1$.
$dv = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int dv = \int \frac{dx}{x}$.
$v = \log|x| + C$.
$v = \frac{y}{x}$ હોવાથી,$\frac{y}{x} = \log|x| + C$.
તેથી,વ્યાપક ઉકેલ $y = x \log|x| + Cx$ છે.